Persamaan dan pertidaksamaan fungsi eksponensial

FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL A. FUNGSI EKSPONEN Definisi: Fungsi eksponen dengan bilangan dasar (bilangan pokok atau basis) 𝑎, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 𝐼 mempunyai bentuk umum: 𝑓 ∶ 𝑥 → 𝑎 𝑥 atau 𝑦 = 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 Dengan: 1) 𝑎 dinamakan bilangan dasar (pokok atau basis) dengan ketentuan: 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1 (𝑎 > 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 0 < 𝑎 < 1) Bila 𝑎 = 1, fungsi eksponen menjadi = 1 𝑥 = 1. Karena itu, dalam definisi tersebut disyaratkan 𝑎 ≠ 1 2) x dinamakan variabel (peubah) bebas dan himpunan dari variabel x dinamakan daerah asal ( daerah definisi / domain/ wilayah) fungsi 𝑓, ditulis 𝐷𝑓 = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑅} 3) y dinamakan variabel (peubah) tak bebas dan himpunan dari semua variabel y dinamakan daerah hasil (range daerah nilai/ jelajah), fungsi 𝑓 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 𝑅𝑓 = {𝑦 | 𝑦 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑦 ∈ 𝑅} 4) 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 dinamakan aturan atau rumus untuk fungsi eksponen baku (standar) PERSAMAAN EKSPONEN Definisi: Persamaan eksponen adalah persamaan yang pangkatnya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan dasar juga mengandung variabel. 1) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑛 Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑛 , dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑛 2) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 1 Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 1, dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 0 3) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) , dengan dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 4) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥) Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑓(𝑥) , dengan 𝑎 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1, 𝑏 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 1, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 𝑏, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 0 5) Persamaan Eksponen Berbentuk {ℎ(𝑥)} 𝑓(𝑥) = {ℎ(𝑥)} 𝑔(𝑥) Jika: {ℎ(𝑥)} 𝑓(𝑥) = {ℎ(𝑥)} 𝑔(𝑥) , maka kemungkinannya adalah: a) ℎ(𝑥) = 0 asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya positif (𝑓(𝑥) > 0 𝑑𝑎𝑛 𝑔(𝑥) > 0) c) ℎ(𝑥) = −1, asalkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) keduanya ganjil atau keduanya genap ((−1) 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥) = 1) d) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) asalkan ℎ(𝑥) ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 ℎ(𝑥) ≠ 1 6) Persamaan Eksponen Berbentuk {ℎ(𝑥)} 𝑓(𝑥0 = 1 Jika {ℎ(𝑥)} 𝑓(𝑥0 = 1, maka kemungkinannya adalah: a) 𝑓(𝑥) = 0 , ℎ(𝑥) ≠ 0 b) ℎ(𝑥) = 1 c) ℎ(𝑥) = 1, 𝑓(𝑥) = ± 𝑝 𝑞 Dengan p dan q adalah bilangan asli yang tidak dapat saling membagi ( tidak mempunyai faktor persekutuan), dan p adalah bilangan genap. 7) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑔(𝑥) Jika a f(x) = b g(x) , dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, maka f(x) log a = g(x) log b 8) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏 Jika 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏, dengan 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑙𝑜𝑔 𝑎 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑏 9) Persamaan Eksponen Berbentuk 𝐴{𝑎 𝑓(𝑥) } 2 + 𝐵{𝑎 𝑓(𝑥) } +C = 0 Untuk menyelesaikan persamaan eksponen berbentuk 𝐴{𝑎 𝑓(𝑥) } 2 + 𝐵{𝑎 𝑓(𝑥) } +C = 0 adalah sebagai berikut: Misalkan 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑦 maka persamaan semula ekuivalen dengan persamaan: 𝐴𝑦2 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Dengan menyelesaikan persamaan kuadrat dalam y, maka maksimal akan di dapat dua akar real dan minimalnya tidak satupun akar real. Akar real yang di terima adalah akar real yang positif. Selanjutnya akar-akar itu disubtitusikan ke persamaan 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑦, sehingga kita memperoleh akar-akar persamaan yang diminta. PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN Definisi: Pertidaksamaan eksponen adalah pertidaksamaan yang eksponennya mengandung variabel. Teorema: 1. Jika 𝑎 > 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) 2. Jika 𝑎 > 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 3. Jika 0 < 𝑎 < 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) 4. Jika 0 < 𝑎 < 1 𝑑𝑎𝑛 𝑎 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 𝑔(𝑥) , 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) Pertidaksamaan eksponen berbentuk 𝐴{𝑎 𝑓(𝑥) } 2 + 𝐵{𝑎 𝑓(𝑥) } +C < 0 (tanda ketidaksamaan “<” dapat di ganti dengan”≤ ,>, 𝑎𝑡𝑎𝑢 " ≥ ", diselesaikan sebagai berikut: Misalkan 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑦, maka pertidaksamaan semula ekuivalen dengan pertidaksamaan 𝐴𝑦2 + 𝐵𝑦 + 𝐶 <